====== Radiometrische Datierungsmethoden ======

Eine herausragende Rolle in der Datierung des Erdalters und von prähistorischen Zeugnissen spielen radiometrische Datierungsmethoden. Deshalb soll hier eine kurze Einführung gegeben werden.

Eine wissenschaftliche Einführung gibt: Alan P. Dickin: Radiogenic Isotope Geology, Cambridge University Press, Cambridge, 1995 (2nd Edition 2005).


===== Das Gesetz des radioaktiven Zerfalls =====

Die folgende Darstellung folgt in weiten Teilen Dickin (1995), S. 11f.((Alan P. Dickin: Radiogenic Isotope Geology, Cambridge University Press, Cambridge, 1995 (2nd Edition 2005).))

Die Zerfallsrate eines radioaktiven Elternnuklids in ein stabiles Tochternuklid ist proportional zur Zahl der Atome //n//, die zur Zeit //t// vorhanden sind (Rutherford und Soddy, 1902)((Rutherford, E. und Soddy, F. (1902): The radioactivity of thorium compounds II, The cause and nature of radioactivity. //J. Chem. Soc. Lond.// **81**, 837--60)):

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(1)\qquad-\frac{{\rm d}n}{{\rm d}t} = \lambda n
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Dabei ist λ die Proportionalitätskonstante, die für das betrachtete Radionuklid charakteristisch ist und als Zerfallskonstante (in Einheiten reziproker Zeit) bezeichnet wird. Die Zerfallskonstante gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein gegebenes Atom des Radionuklids innerhalb einer gegebenen Zeit zerfällt. Der Term d//n///d//t// ist die Änderungsrate der Zahl der Elternatome und ist negativ, da sie mit der Zeit abnimmt. Durch Umstellen der Gleichung [1] erhält man

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(2)\qquad\frac{{\rm d}n}{{\rm d}t} = -\lambda n
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Dieser Ausdruck wird von //t//=0 bis //t// integriert, mit //n//<sub>0</sub> als der Zahl der Atome zur Zeit //t//=0:

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(3)\qquad\int_{n_0}^n\frac{{\rm d}n}{n} = -\lambda\int_{t=0}^t{\rm d}t
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Demzufolge gilt

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(4)\qquad\ln\left(\frac{n}{n_0}\right)=-\lambda t
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was als

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(5)\qquad n = n_0\exp(-\lambda t)
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geschrieben werden kann. Eine nützliche Art, die Zerfallsrate eines Radionuklids anzugeben, ist seine "Halbwertszeit", //t//<sub>1/2</sub>, also die Zeit, in der die Hälfte der Elternatome zerfallen sind. Durch Substitution von //n//=//n//<sub>0</sub>/2 und //t//=//t//<sub>1/2</sub> in Gleichung [5] und logarithmieren auf beiden Seiten erhält man:

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(6)\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{\lambda}
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Die Zahl der durch radioaktiven Zerfall gebildeten Tochteratome, //D//*, entspricht der Zahl der verbrauchten Elternatome:

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(7)\qquad D^*=n_0-n
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Einsetzen von Gl. [5] in Gl. [7] ergibt:

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(8)\qquad D^* = n\exp(\lambda t)-n
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d.h.

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(9)\qquad D^* = n(\exp(\lambda t)-1)
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Ist //D//<sub>0</sub> die Zahl der Tochteratome zum Zeitpunkt //t//=0, dann ergibt sich die Gesamtzahl der Tochteratome nach der Zeit //t// zu:

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(10)\qquad D = D_0 + n(\exp(\lambda t)-1)
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Diese Gleichung ist die Grundlage für die meisten geochronologischen Datierungswerkzeuge.

Bei den Uranzerfallsreihen sind die Tochterprodukte des radioaktiven Zerfalls (mit Ausnahme dreier Bleiisotope) selbst wiederum radioaktiv. Deshalb ergibt sich die Zerfallsrate solcher Tochterprodukte aus der Differenz zwischen ihrer Produktionsrate aus Elternnukliden und ihrer eigenen Zerfallsrate,

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(11)\qquad {\rm d}n_2/{\rm d}t = n_1\lambda_1 - n_2\lambda_2
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mit der Menge //n//<sub>1</sub> und Zerfallskonstante λ<sub>1</sub> des Elternnuklids und der Menge //n//<sub>2</sub> und Zerfallskonstante λ<sub>2</sub> des Tochterprodukts.

Auch hier kann wieder Gl. [5] in Gl. [11] eingesetzt werden:

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(12)\qquad {\rm d}n_2/{\rm d}t = n_{1,\text{initial}}\exp(-\lambda_1 t)\lambda_1-n_2\lambda_2
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Diese Gleichung wird für gegebene Anfangsbedingungen integriert, im einfachsten Fall //n//<sub>2</sub>=0 und //t//=0. Dann ergibt sich

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(13)\qquad n_2\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}n_{1,\text{initial}}[\exp(-\lambda_1 t)-\exp(\lambda_2 t)]
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Diese Art von Lösung wurde zuerst von Bateman (1910)((Bateman, H. (1910): Solution to a system of differential equations occurring in the theory of radio-active transformations. //Proc. Cambridge Phil. Soc.// **15**, 423--7)) gezeigt und nach ihm benannt. Catchen (1984)((Catchen, G. L. (1984): Application of the equations of radioactive growth and decay to geochronological models and explicit solution of the equations by Laplace transformations. //Isot. Geosci.// **2**, 181--95)) untersuchte allgemeinere Anfangsbedingungen für diese Gleichungen, die zu komplexeren Lösungen führen.


==== Uniformitarianismus ====

Hutton, 1788

  * http://www.sacred-texts.com/earth/toe/index.htm
  * http://www.amazon.de/Theory-Earth-Investigation-Composition-Dissolution/dp/1605064149